3y^2-52y+178=0

Solution for 3y^2-52y+178=0 equation:

Simplifying
3y2 + -52y + 178 = 0

Reorder the terms:
178 + -52y + 3y2 = 0

Solving
178 + -52y + 3y2 = 0

Solving for variable 'y'.

Begin completing the square.  Divide all terms by
3 the coefficient of the squared term: 

Divide each side by '3'.
59.33333333 + -17.33333333y + y2 = 0

Move the constant term to the right:

Add '-59.33333333' to each side of the equation.
59.33333333 + -17.33333333y + -59.33333333 + y2 = 0 + -59.33333333

Reorder the terms:
59.33333333 + -59.33333333 + -17.33333333y + y2 = 0 + -59.33333333

Combine like terms: 59.33333333 + -59.33333333 = 0.00000000
0.00000000 + -17.33333333y + y2 = 0 + -59.33333333
-17.33333333y + y2 = 0 + -59.33333333

Combine like terms: 0 + -59.33333333 = -59.33333333
-17.33333333y + y2 = -59.33333333

The y term is -17.33333333y.  Take half its coefficient (-8.666666665).
Square it (75.11111108) and add it to both sides.

Add '75.11111108' to each side of the equation.
-17.33333333y + 75.11111108 + y2 = -59.33333333 + 75.11111108

Reorder the terms:
75.11111108 + -17.33333333y + y2 = -59.33333333 + 75.11111108

Combine like terms: -59.33333333 + 75.11111108 = 15.77777775
75.11111108 + -17.33333333y + y2 = 15.77777775

Factor a perfect square on the left side:
(y + -8.666666665)(y + -8.666666665) = 15.77777775

Calculate the square root of the right side: 3.972125092

Break this problem into two subproblems by setting 
(y + -8.666666665) equal to 3.972125092 and -3.972125092.

Subproblem 1
y + -8.666666665 = 3.972125092

Simplifying
y + -8.666666665 = 3.972125092

Reorder the terms:
-8.666666665 + y = 3.972125092

Solving
-8.666666665 + y = 3.972125092

Solving for variable 'y'.

Move all terms containing y to the left, all other terms to the right.

Add '8.666666665' to each side of the equation.
-8.666666665 + 8.666666665 + y = 3.972125092 + 8.666666665

Combine like terms: -8.666666665 + 8.666666665 = 0.000000000
0.000000000 + y = 3.972125092 + 8.666666665
y = 3.972125092 + 8.666666665

Combine like terms: 3.972125092 + 8.666666665 = 12.638791757
y = 12.638791757

Simplifying
y = 12.638791757

Subproblem 2
y + -8.666666665 = -3.972125092

Simplifying
y + -8.666666665 = -3.972125092

Reorder the terms:
-8.666666665 + y = -3.972125092

Solving
-8.666666665 + y = -3.972125092

Solving for variable 'y'.

Move all terms containing y to the left, all other terms to the right.

Add '8.666666665' to each side of the equation.
-8.666666665 + 8.666666665 + y = -3.972125092 + 8.666666665

Combine like terms: -8.666666665 + 8.666666665 = 0.000000000
0.000000000 + y = -3.972125092 + 8.666666665
y = -3.972125092 + 8.666666665

Combine like terms: -3.972125092 + 8.666666665 = 4.694541573
y = 4.694541573

Simplifying
y = 4.694541573

Solution
The solution to the problem is based on the solutions
from the subproblems.
y = {12.638791757, 4.694541573}